图像的数学形态学处理

预备知识
1. 集合论
2. 二值图像的集合运算
膨胀和腐蚀
组合运算
标记连通分量
1. 标记连通分量
形态学重构

预备知识

1. 集合论

若点w=(x,y)是A的一个元素，记为：

$w\in A$

若点w=(x,y)不是A的一个元素，记为：

$w\notin A$

所有不属于A的坐标的集合，称为A的补集，记为 $A^c$ ：

$A^c=\{w|w\notin A\}$

集合A和集合B的并集指所有属于集合A或者集合B的元素的集合，记为

$C = A \cup B$

集合A和集合B的交集是指同时属于这集合的元素的集合，记为

$C = A \cap B$

集合A和集合B的差集记为A-B，指所有属于A但不属于B的元素的集合：

$A-B = \{ w|w\in A, w \notin B \}$

../figure91.png

B的映像记为 $\hat{B}$ ，定义为

$\hat{B} = \{ w|w=-b, b \in B \}$

对A的平移z( $z = (z_1, z_2)$ )记为 $(A)_z$ ，定义为

$(A)_z=\{ c|c=a+z, a\in A \}$

../figure92.png

2. 二值图像的集合运算

点的集合A可以用一幅二值的图像A来表示：

$A(x,y) = \begin{cases} 1 & if (x,y) \in A \\ 0 & if (x,y) \notin A \\ \end{cases}$

这样，点的集合运算可以表示为二值图像的逻辑运算，比如：

$C = A \cup B = \{(x,y)|(x,y) \in A or (x,y) \in B \}$

等价于

$C(x,y) = \begin{cases} 1 & if\ A(x,y) = 1\ or\ B(x,y) = 1 \\ 0 & otherwise \\ \end{cases}$

../table91.png

例子：

../figure93.png

膨胀和腐蚀

1. 膨胀

膨胀是使二值图像变粗的操作。变粗的程度由结构元素来控制。膨胀的过程可以由下图来说明：

../figure94.png

膨胀操作记为：

$A \oplus B = \{ z|(\hat{B})_z \cap A \neq \phi \}$

非对称的结构元素，需要先将其映射

../figure95.png

在matlab中实现:

C = imdilate(A, B);

../figure96.png

2. 结构元素的分解

膨胀运算满足结合律：

$A\oplus (B \oplus C) = (A \oplus B) \oplus C$

如果一个结构元素B可以分解成两个结构元素B1和B2的膨胀

$B=B_1\oplus B_2$

那么

$A\oplus B = A \oplus (B_1 \oplus B_2) = (A \oplus B_1) \oplus B_2$

计算膨胀所需要的时间正比于结构元素中非零像素的个数。如果分解后非零像素减少，那就可以节省计算时间。例如

$\left[\begin{array}{ccccc} 1 &1& 1& 1& 1\\ 1 &1& 1& 1& 1\\ 1 &1& \boxed{1}& 1& 1\\ 1 &1& 1& 1& 1\\ 1 &1& 1& 1& 1 \end{array}\right]$

可以分解为

$[1\ 1\ \boxed{1}\ 1\ 1] \oplus \left[ \begin{array}{c}1\\1\\\boxed{1}\\1\\1\end{array}\right]$

3. 常用的结构元素

在matlab中，可以用strel函数，生成一些常用的结构元素。

../table92.png

strel返回的不是矩阵，而是一个strel对象，它可以直接传给imdilate作为参数。也可以通过getnhood得到对应的矩阵。例如：

se = strel('diamond', 3)
B = getnhood(se)

4. 腐蚀

腐蚀操作可以细化二值图像。细化的程度同样由一个结构元素控制。下图说明了腐蚀的过程：

../figure97.png

腐蚀定义为：

$A \ominus B = \{ z|(B)_z \cap A^c = \phi \}$

腐蚀可以用膨胀来表示：

$A \ominus B = \{ z|(B)_z \cap A^c = \phi \} = \{ z|(B)_z \cap A^c \neq \phi \}^c = (A^c \oplus \hat{B})^c$

在matlab中实现：

C = imerode(A, B);

../figure98.png

组合运算

1. 开运算和闭运算

A与B的开运算定义为：

$A\circ B = (A \ominus B) \oplus B$

A与B的闭运算定义为：

$A\bullet B = (A \oplus B)\ominus B$

../figure99.png

在matlab中实现：

C = imopen(A, B)
C = imclose(A, B)

../figure910.png

../figure911.png

2. 击中击不中运算

击中击不中运算定义为：

$A \otimes B = (A\ominus B_1) \cap (A^c\ominus B_2)$

../figure912.png

在matlab中实现

c = bwhitmiss(A, B1, B2);

../figure913.png

3. 其他复合操作

在matlab中，使用bwmorph可以实现多种形态学运算

../table93.png

用法：

g = bwmorph(f, operation, n);

其中，operation是一个指定操作的字符串，n指定操作的重复次数，缺省是1。

例子：

g1 = bwmorph(f, 'thin', 1);
g2 = bwmorph(f, 'thin', 2);
ginf = bwmorph(f, 'thin', Inf);

../figure915.png

骨骼化（也称为提取骨架）：

fs = bwmorph(f, 'skel', Inf);

../figure916.png

骨骼化的结果中会有一些毛刺，我们可以对起进行修剪，使用endpoints函数实现：

fs = fs&~endpoints(fs)

标记连通分量

1. 标记连通分量

../figure917.png

一个像素p的上下左右四个像素称为4邻接像素，上下左右再加上四个对角线像素称为8邻接像素。

如果两个像素p1和pn之间存在一系列像素p1,p2,...pn，其中每相邻两个之间都是4邻接的，则称p1和pn是4连通的；如果每相邻两个像素之间都是8邻接的，则称p1和pn是8连通的；如果不存在这样的路径，则称为p1和pn是不连通的。p1,p2,...pn称为p1到pn的一条路径。与p连通的所有像素的集合称为包含p的连通分量。

在matlab中，可以由bwlabel函数来找出连通分量，为不同的连通分量标上不同的标记。