预备知识

1. 集合论

若点w=(x,y)是A的一个元素，记为：

$$w\in A$$

若点w=(x,y)不是A的一个元素，记为：

$$w\notin A$$

所有不属于A的坐标的集合，称为A的补集，记为$A^c$：

$$A^c=\{w|w\notin A\}$$

集合A和集合B的并集指所有属于集合A或者集合B的元素的集合，记为

$$C = A \cup B$$

集合A和集合B的交集是指同时属于这集合的元素的集合，记为

$$C = A \cap B$$

集合A和集合B的差集记为A-B，指所有属于A但不属于B的元素的集合：

$$A-B = \{ w|w\in A, w \notin B \}$$

figure91.png

B的映像记为$\hat{B}$，定义为

$$\hat{B} = \{ w|w=-b, b \in B \}$$

对A的平移z($z = (z_1, z_2)$)记为$(A)_z$，定义为

$$(A)_z=\{ c|c=a+z, a\in A \}$$

figure92.png

2. 二值图像的集合运算

点的集合A可以用一幅二值的图像A来表示：

$$ A(x,y) = \begin{cases} 1 & if (x,y) \in A \\ 0 & if (x,y) \notin A \\ \end{cases} $$

这样，点的集合运算可以表示为二值图像的逻辑运算，比如：

$$C = A \cup B = \{(x,y)|(x,y) \in A or (x,y) \in B \}$$

等价于

$$C(x,y) = \begin{cases} 1 & if\ A(x,y) = 1\ or\ B(x,y) = 1 \\ 0 & else \\ \end{cases}$$

table91.png

例子：

figure93.png

膨胀和腐蚀

1. 膨胀

膨胀是使二值图像变粗的操作。变粗的程度由结构元素来控制。膨胀的过程可以由下图来说明：

figure94.png

膨胀操作记为：

$$A \oplus B = \{ z|(\hat{B})_z \cap A \neq \phi \}$$

非对称的结构元素，需要先将其映射

figure95.png

2. 结构元素的分解

3. 腐蚀

组合运算

1. 开运算和闭运算

2. 击中和击不中运算

标记连通分量

形态学重构

1. 由重构做开运算

2. 填充空洞

3. 清除边界对象

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