预备知识
1. 集合论
若点w=(x,y)是A的一个元素，记为：
若点w=(x,y)不是A的一个元素，记为：
所有不属于A的坐标的集合，称为A的补集，记为
：
集合A和集合B的并集指所有属于集合A或者集合B的元素的集合，记为
集合A和集合B的交集是指同时属于这集合的元素的集合，记为
集合A和集合B的差集记为A-B，指所有属于A但不属于B的元素的集合：
B的映像记为
，定义为
对A的平移z(
)记为
，定义为
2. 二值图像的集合运算
点的集合A可以用一幅二值的图像A来表示：
这样，点的集合运算可以表示为二值图像的逻辑运算，比如：
等价于
例子：
膨胀和腐蚀
1. 膨胀
膨胀是使二值图像变粗的操作。变粗的程度由结构元素来控制。膨胀的过程可以由下图来说明：
膨胀操作记为：
非对称的结构元素，需要先将其映射
在matlab中实现:
C = imdilate(A, B);
2. 结构元素的分解
膨胀运算满足结合律：
如果一个结构元素B可以分解成两个结构元素B1和B2的膨胀
那么
计算膨胀所需要的时间正比于结构元素中非零像素的个数。如果分解后非零像素减少，那就可以节省计算时间。例如
![$$\left[\begin{array}{ccccc}
1 &1& 1& 1& 1\\
1 &1& 1& 1& 1\\
1 &1& \boxed{1}& 1& 1\\
1 &1& 1& 1& 1\\
1 &1& 1& 1& 1
\end{array}\right]
$$](/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%A2%E6%80%81%E5%AD%A6%E5%A4%84%E7%90%86?action=AttachFile&do=get&target=latex_311e4aef1a171346b0b31793a942d6d9d87a8a58_p1.png "$$\left[\begin{array}{ccccc}
1 &1& 1& 1& 1\\
1 &1& 1& 1& 1\\
1 &1& \boxed{1}& 1& 1\\
1 &1& 1& 1& 1\\
1 &1& 1& 1& 1
\end{array}\right]
$$")
可以分解为
![$$[1\ 1\ \boxed{1}\ 1\ 1] \oplus \left[ \begin{array}{c}1\\1\\\boxed{1}\\1\\1\end{array}\right]$$](/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%A2%E6%80%81%E5%AD%A6%E5%A4%84%E7%90%86?action=AttachFile&do=get&target=latex_a864140ec5cc87578b4a9075e276cd26e8bd3b96_p1.png "$$[1\ 1\ \boxed{1}\ 1\ 1] \oplus \left[ \begin{array}{c}1\\1\\\boxed{1}\\1\\1\end{array}\right]$$")
在matlab中，可以用strel函数，生成一些常用的结构元素。
strel返回的不是矩阵，而是一个strel对象，它可以直接传给imdilate作为参数。也可以通过getnhood得到对应的矩阵。例如：
se = strel('diamond', 3)
B = getnhood(se)
3. 腐蚀
腐蚀操作可以细化二值图像。细化的程度同样由一个结构元素控制。下图说明了腐蚀的过程：
腐蚀定义为：
腐蚀可以用膨胀来表示：
组合运算
1. 开运算和闭运算
2. 击中和击不中运算
标记连通分量
形态学重构
1. 由重构做开运算
2. 填充空洞