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| == 一维傅里叶变换 == 任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。 {{attachment:figure41.png}} 表示成数学表达式是这样子的： <<latex($$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$$)>> 其中 <<latex($$a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(n \omega x)\, dx$$)>> <<latex($$b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(n \omega x)\, dx$$)>> <<latex($$T = \frac{2\pi}{\omega}$$)>> 这被称为傅里叶级数。由欧拉公式<<latex($$e^{i\theta}=cos\theta + sin\theta$$)>>可将上述傅里叶级数公式变形为： <<latex($$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega x}$$)>> <<latex($$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$$)>> 这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即 <<latex($$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n) e^{in \omega x}$$)>> <<latex($$F(n) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$$)>> 当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的<<latex($$\omega$$)>>就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分： <<latex($$f(x) = \int _{-\infty}^{\infty} F(\omega)\ e^{ i \omega x }\,d \omega$$)>> 其中 <<latex($$F(\omega) = \int _{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- i\omega x}\,dx $$)>> == 二维离散傅里叶变换 == |
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参考资源： * https://secure.wikimedia.org/wikipedia/zh/w/index.php?title=%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2&variant=zh-cn * http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis * http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%8F%98%E6%8D%A2 * http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform * |
一维傅里叶变换
任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。
表示成数学表达式是这样子的：
![$$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$$](/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E9%A2%91%E5%9F%9F%E5%A2%9E%E5%BC%BA?action=AttachFile&do=get&target=latex_ece54fd2665e921e7e5929f0ac8c4409e362c7ee_p1.png "$$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$$")
其中
这被称为傅里叶级数。由欧拉公式
可将上述傅里叶级数公式变形为：
这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即
当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的
就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分：
其中
二维离散傅里叶变换
- 什么是傅立叶变换？如何进行一维和二维的傅立叶变换？傅立叶变换有什么特性？
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参考资源：