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| == 一维傅里叶变换 == === 傅里叶级数 === 任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。 {{attachment:figure41.png}} 表示成数学表达式是这样子的： <<latex($$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$$)>> 其中 <<latex($$a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(n \omega x)\, dx$$)>> <<latex($$b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(n \omega x)\, dx$$)>> <<latex($$T = \frac{2\pi}{\omega}$$)>> 这被称为傅里叶级数。由欧拉公式<<latex($$e^{i\theta}=cos\theta + sin\theta$$)>>可将上述傅里叶级数公式变形为： <<latex($$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega x}$$)>> <<latex($$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$$)>> 这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即 <<latex($$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n) e^{in \omega x}$$)>> <<latex($$F(n) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$$)>> 例子： http://www.falstad.com/fourier/ === 连续傅里叶变换 === 当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的<<latex($$\omega$$)>>就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分： <<latex($$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} F(\omega)\ e^{ i \omega x }\,d \omega$$)>> 其中 <<latex($$F(\omega) = \int _{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- i\omega x}\,dx $$)>> 这就是连续傅里叶变换 === 离散时间傅里叶变换 === 当f(x)中的x是一个离散的变量时，傅里叶变换就变成了： <<latex($$f(n) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega $$)>> <<latex($$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i \omega n} $$)>> F是周期性的 === 离散傅里叶变换 === 如何f(x)是离散的且是周期性的，傅里叶变换变成了： <<latex($$ f(x) = \sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M} $$)>> <<latex($$ F(u) = \frac{1}{M}\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M} $$)>> == 傅里叶变换与线性滤波 == [[attachment:数字图像处理/Review_of_Linear_Systems.ppt]] == 二维傅里叶变换 == 二维傅里叶变换相当于先在x方向做一维傅里叶变换，然后对结果再做y方向的一维傅里叶变换，就得到了二维傅里叶变换的结果。 <<latex($$ F(u, v) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy $$)>> <<latex($$ f(x, y) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv $$)>> 二维的离散傅里叶变换也是类似的： <<latex($$F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}$$)>> <<latex($$f(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}$$)>> <<latex($$|F(u,v)|=[R^2(x,y)+I^2(x,y)]^{1/2}$$)>> <<latex($$\phi(u,v)=tan^{-1}\left[ \frac{I(u,v)}{R(u,v)} \right]$$)>> |
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参考资源： * https://secure.wikimedia.org/wikipedia/zh/w/index.php?title=%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2&variant=zh-cn * http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis * http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%8F%98%E6%8D%A2 * http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform * |
一维傅里叶变换
1. 傅里叶级数
任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。
表示成数学表达式是这样子的：
![$$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$$](/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E9%A2%91%E5%9F%9F%E5%A2%9E%E5%BC%BA?action=AttachFile&do=get&target=latex_ece54fd2665e921e7e5929f0ac8c4409e362c7ee_p1.png "$$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$$")
其中
这被称为傅里叶级数。由欧拉公式
可将上述傅里叶级数公式变形为：
这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即
例子：
http://www.falstad.com/fourier/
2. 连续傅里叶变换
当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的
就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分：
其中
这就是连续傅里叶变换
3. 离散时间傅里叶变换
当f(x)中的x是一个离散的变量时，傅里叶变换就变成了：
F是周期性的
4. 离散傅里叶变换
如何f(x)是离散的且是周期性的，傅里叶变换变成了：
傅里叶变换与线性滤波
数字图像处理/Review_of_Linear_Systems.ppt
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换相当于先在x方向做一维傅里叶变换，然后对结果再做y方向的一维傅里叶变换，就得到了二维傅里叶变换的结果。
二维的离散傅里叶变换也是类似的：
![$$|F(u,v)|=[R^2(x,y)+I^2(x,y)]^{1/2}$$](/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E9%A2%91%E5%9F%9F%E5%A2%9E%E5%BC%BA?action=AttachFile&do=get&target=latex_46602f1258ba6f7a2ec2708c4e68033895ff32af_p1.png "$$|F(u,v)|=[R^2(x,y)+I^2(x,y)]^{1/2}$$")
![$$\phi(u,v)=tan^{-1}\left[ \frac{I(u,v)}{R(u,v)} \right]$$](/%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E9%A2%91%E5%9F%9F%E5%A2%9E%E5%BC%BA?action=AttachFile&do=get&target=latex_e48b95476b7a8bcaa476a87b0c17a3fc7453630c_p1.png "$$\phi(u,v)=tan^{-1}\left[ \frac{I(u,v)}{R(u,v)} \right]$$")
- 什么是傅立叶变换？如何进行一维和二维的傅立叶变换？傅立叶变换有什么特性？
- 什么是离散余弦变换？它与傅立叶变换有什么关系？它有什么特点和应用？
- 频域图像处理的过程是怎样的？
- 如何设计低通滤波器？
- 如何设计高通滤波器？
参考资源：