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一维傅里叶变换

1. 傅里叶级数

任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。

figure41.png

表示成数学表达式是这样子的：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$$

其中

$$a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(n \omega x)\, dx$$

$$b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(n \omega x)\, dx$$

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

这被称为傅里叶级数。由欧拉公式$$e^{i\theta}=cos\theta + sin\theta$$可将上述傅里叶级数公式变形为：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega x}$$

$$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$$

这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n) e^{in \omega x}$$

$$F(n) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$$

例子：

http://www.falstad.com/fourier/

2. 连续傅里叶变换

当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的$$\omega$$就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分：

$$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} F(\omega)\ e^{ i \omega x }\,d \omega$$

其中

$$F(\omega) = \int _{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- i\omega x}\,dx $$

这就是连续傅里叶变换

3. 离散时间傅里叶变换

当f(x)中的x是一个离散的变量时，傅里叶变换就变成了：

$$f(n) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega $$

$$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i \omega n} $$

F是周期性的

4. 离散傅里叶变换

如何f(x)是离散的且是周期性的，傅里叶变换变成了：

$$ f(x) = \sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M} $$

$$ F(u) = \frac{1}{M}\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M} $$

傅里叶变换与线性滤波

数字图像处理/Review_of_Linear_Systems.ppt

二维傅里叶变换

二维傅里叶变换相当于先在x方向做一维傅里叶变换，然后对结果再做y方向的一维傅里叶变换，就得到了二维傅里叶变换的结果。

$$ F(u, v) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy $$

$$ f(x, y) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv $$

二维的离散傅里叶变换也是类似的：

$$F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}$$

$$f(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}$$

$$|F(u,v)|=[R^2(x,y)+I^2(x,y)]^{1/2}$$

  • 什么是傅立叶变换？如何进行一维和二维的傅立叶变换？傅立叶变换有什么特性？
  • 什么是离散余弦变换？它与傅立叶变换有什么关系？它有什么特点和应用？
  • 频域图像处理的过程是怎样的？
  • 如何设计低通滤波器？
  • 如何设计高通滤波器？

参考资源：

图像的频域增强 (2008-04-14 09:57:46由218编辑)

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