图像的频域增强

一维傅里叶变换
傅里叶变换与线性滤波
二维傅里叶变换
在matlab中计算二维傅里叶变换
频域滤波
频域中直接生成滤波器
参考资源

一维傅里叶变换

1. 傅里叶级数

任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。

表示成数学表达式是这样子的：

$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$

其中

$a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(n \omega x)\, dx$

$b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(n \omega x)\, dx$

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

这被称为傅里叶级数。由欧拉公式 $e^{i\theta}=cos\theta + i sin\theta$ 可将上述傅里叶级数公式变形为：

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega x}$

$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$

这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n) e^{in \omega x}$

$F(n) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$

例子：

http://www.falstad.com/fourier/

2. 连续傅里叶变换

当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的 $\omega$ 就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分：

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} F(\omega)\ e^{ i \omega x }\,d \omega$

其中

$F(\omega) = \int _{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- i\omega x}\,dx$

这就是连续傅里叶变换

3. 离散时间傅里叶变换

当f(x)中的x是一个离散的变量时，傅里叶变换就变成了：

$f(n) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega$

$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i \omega n}$

F是周期性的

4. 离散傅里叶变换

如何f(x)是离散的且是周期性的，傅里叶变换变成了：

$f(x) = \sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M}$

$F(u) = \frac{1}{M}\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M}$

傅里叶变换与线性滤波

数字图像处理/Review_of_Linear_Systems.ppt

二维傅里叶变换

二维傅里叶变换相当于先在x方向做一维傅里叶变换，然后对结果再做y方向的一维傅里叶变换，就得到了二维傅里叶变换的结果。

$F(u, v) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$

$f(x, y) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$

二维的离散傅里叶变换也是类似的：

$F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}$

$f(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}$

F(u,v)的幅度和相位分别是：

$|F(u,v)|=[R^2(x,y)+I^2(x,y)]^{1/2}$

$\phi(u,v)=tan^{-1}\left[ \frac{I(u,v)}{R(u,v)} \right]$

频谱能量为 $$P(u,v) = |F(u,v)|^2$$

性质：

关于原点是共轭对称的：
幅值是原点对称的：
周期性： $F(u,v) = F(u+M,v) = F(u, v+N) = F(u+M, v+N) \dots$

在matlab中计算二维傅里叶变换

用fft2函数计算图像的傅里叶变换：

F = fft2(f);

查看傅里叶变换的结果，可以发现幅值最大的位置出现在四个角上，它们代表了低频的部分。我们可以对频谱进行平移，使得它们位于中间：

F = fftshift(F);

要将频谱变换回图像，使用傅里叶逆变换：

F = ifftshift(F);
f = ifft2(F);

频域滤波

根据卷积定理

$f(x,y)*h(x,y) \Leftrightarrow H(u,v)F(u,v)$

以及

$f(x,y)h(x,y) \Leftrightarrow H(u,v)*F(u,v)$

因此可以得到：

$g(x, y) = f(x,y)*h(x,y) = \Im ^{-1} [H(u,v)F(u,v)] = \Im ^{-1} [ \Im (h(x,y)) \Im (f(x,y)) ]$

其中， $\Im$ 表示傅里叶变换， $\Im ^{-1}$ 表示傅里叶逆变换

在matlab里面实现：

[M, N] = size(f);
F = fft2(f);
h = fspecial('average', [5 5]);
H = fft2(h, M, N);
G = F.*H;
g = real(ifft2(G));
imshow(g);

频域中直接生成滤波器

1. 低通滤波器

理想低通滤波器

$H(u,v) = \begin{cases} 1 & D(u,v)\le D_0 \\ 0 & D(u,v)\le D_0 \\ \end{cases}$

巴特沃滋低通滤波器

$H(u,v) = \frac{1}{1+[D(u,v)/D_0]^{2n}}$

高斯低通滤波器

$H(u,v)=e^{-D^2(u,v)/2\sigma ^2}$

2. 高通滤波器

基本高通滤波：

$H_{hp}(u,v) = 1 - H_{lp}(u,v)$

高频强调滤波：

$H_{hfe}(u,v)=a+bH_{hp}(u,v)$

3. 在matlab里面实现

理想低通：

f = imread('lena_gray.tif');
[M N] = size(f);
[R C] = meshgrid(1:M, 1:N);
D = sqrt((R-M/2).^2 + (C-N/2).^2);
H = double(D <= 100);
F = fftshift(fft2(f));
G = F.*H;
g = ifft2(ifftshift(G));