图像的频域增强

一维傅里叶变换

任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。

表示成数学表达式是这样子的：

$f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)]$

其中

$a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(n \omega x)\, dx$

$b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(n \omega x)\, dx$

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

这被称为傅里叶级数。由欧拉公式 $e^{i\theta}=cos\theta + sin\theta$ 可将上述傅里叶级数公式变形为：

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega x}$

$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$

这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n) e^{in \omega x}$

$F(n) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx$

例子：

当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的 $\omega$ 就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分：

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} F(\omega)\ e^{ i \omega x }\,d \omega$

其中

$F(\omega) = \int _{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- i\omega x}\,dx$

这就是连续傅里叶变换

当f(x)中的x是一个离散的变量时，傅里叶变换就变成了：

$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i \omega n}$

参考资源：