定义：图灵机是五元组latex($$(K,\Sigma,\delta,s,H)$$)，其中 latex($$K$$)是状态的有穷集；latex($$\Sigma$$)是字母表，包含空格符latex($$\sqcup$$)和左端符latex($$\triangleright$$)，但不包含latex($$\leftarrow$$)和latex($$\rightarrow$$)， latex($$s\in K$$)K是初始状态，latex($$H\subseteq K$$)是停机状态的集合，latex($$\delta$$)是转移函数，它是从latex($$(K-H)\times\Sigma$$)到latex($$K\times(\Sigma\cup\lbrace\leftarrow,\rightarrow\rbrace)$$)的函数，使得
对所有latex($$q\in K-H$$)，若latex($$\delta(q,\triangleright)=(p,b)$$)，则latex($$b=\rightarrow$$),
对所有latex($$q\in K-H$$)和latex($$a\in\Sigma$$)，若latex($$\delta(q,a)=(p,b)$$)，则latex($$b\ne\triangleright$$)。
定义：Turing机latex($$M=(K,\Sigma,\delta,s,H)$$)的格局是latex($$K\times\triangleright\Sigma^*\times(\Sigma^*(\Sigma-\lbrace\sqcup\rbrace)\cup\lbrace e\rbrace)$$)。状态分量属于H的格局称为停机格局。
基本机器：
写符号机latex($$a$$)
- 向左移带头机L
- 向右移带头机R
- 复制机C
定义：设latex($$M=(K,\Sigma,\delta,s,H)$$)是Turing机，使得latex($$H=\lbrace y,n \rbrace$$)包含两个不同的停机状态（y和n分别表示“是”和“否”）状态分量是y的任何停机格局都称为接受格局。而状态分量是n的停机格局称为拒绝格局。对输入latex($$\omega\in(\Sigma - \lbrace\sqcup,\triangleright\rbrace)^*$$)，若latex($$(s,\triangleright\underline{\sqcup}\omega)$$)产生接受格局则我们说M接受latex($$\omega$$),若latex($$(s,\triangleright\underline{\sqcup}\omega)$$)产生拒绝格局则我们说M拒绝latex($$\omega$$)。
设latex($$\Sigma_0\subseteq(\Sigma-\lbrace\sqcup,\triangleright\rbrace)$$)是字母表，称为M的输入字母表；通过固定latex($$\Sigma_0$$)是latex($$\Sigma-\lbrace\cup,\triangleright\rbrace$$)的子集，我们允许Turing机在计算中使用除在输入里出现的符号外的额外符号。如果latex($$L\subseteq\Sigma_0^*$$)是语言，并且对任何字符串latex($$\omega\in\Sigma_0^*$$)，下列关系为真：若latex($$\omega\in L$$)则M接受latex($$\omega$$)；若latex($$\omega\notin L$$)则M拒绝latex($$\omega$$)，那么我们说M判定语言L。
若存在Turing机判定语言L则L称为递归的。即Turing机判定语言L的条件是，当在输入latex($$\omega$$)上启动时它总是停机并且停机状态是对输入的正确回答：若latex($$\omega\in L$$)则是y，若latex($$\omega\notin L$$)则是n。
定义：设latex($$M=(K,\Sigma,\delta,s,\lbrace h\rbrace)$$)是Turing机，latex($$\Sigma_0\subseteq\Sigma-\lbrace\sqcup,\triangleright\rbrace$$)是字母表，并设latex($$\omega\in\Sigma_0^*$$)。假设M在输入latex($$\omega$$)上停机，而且对某个latex($$y\in\Sigma_0^*$$)，latex($$(s,\triangleright\underline{\sqcup}\omega)\vdash_M^*(h,\triangleright\underline{\sqcup}y)$$)，则y称为M在输入latex($$\omega$$)上的输出，并表示成latex($$M(\omega)$$)。
设latex($$f$$)是从latex($$\Sigma_0^*$$)到latex($$\Sigma_0^*$$)的任意函数。若对所有latex($$\omega\in\Sigma_0^*$$)，latex($$M(\omega)=f(\omega)$$)，则我们说M计算函数f。即对所有latex($$\omega\in\Sigma_0^*$$)，M在输入latex($$\omega$$)上最终停机，并且当它确实停机时带上包含字符串latex($$\triangleright\sqcup f(\omega)$$)。若存在Turing机计算函数latex($$f$$)，则latex($$f$$)称为递归的。