查找

1. 概念

平均查找长度：

查找成功时的平均查找长度：

2. 线性结构的查找

查找结构：

   1 typedef struct{ 
   2     int key;
   3     info_type otherinfo;
   4 }record_type;
   5 typedef record_type elem_type;
   6 typedef struct  {
   7     elem_type  elem[MAXSIZE];
   8     int size;
   9 }seq_list;

2.1. 顺序查找

   1 int seq_search(seq_list *r, int key) {
   2    int i;
   3    for(i = 0; i < r->size; i++)
   4       if(r->elem[i].key == key)
   5          return i;
   6    return -1;
   7 }

查找成功时的平均查找长度：(n+1)/2

查找不成功时的平均查找长度：n

2.2. 折半查找

折半查找要求元素先排序

   1 int bin_search(seq_list *r, int key) {
   2    int low = 0, high = r->size;
   3    while(low < high) {
   4       int mid = (low + high) / 2;
   5       if(r->elem[mid].key == key)
   6          return mid;
   7       else if(r->elem[mid].key < key)
   8          low = mid + 1;
   9       else
  10          high = mid;
  11    }
  12    return -1;
  13 }

查找成功时的平均查找长度

3. 树型结构查找

3.1. 二叉排序树

二叉排序树是一棵空二叉树或者满足以下条件的二叉树：

左子树为空树或者左子树上所有结点的值小于根结点的值；
右子树为空树或者右子树上所有结点的值大于根结点的值；
左子树和右子树也是二叉排序树。

二叉排序树表示

   1 typedef struct datatype {
   2    int key;
   3 }datatype;
   4 struct node {
   5    datatype data;
   6    struct node *left, *right;
   7 };

二叉排序树的插入

   1 struct node *insert_bst(struct node *root, datatype elem){
   2     if(root == NULL) {
   3         root = malloc(sizeof(struct node));
   4         root->data = elem;
   5         root->left = root->right = NULL;
   6         return root;
   7     }
   8     if(root->data.key < elem.key)
   9         root->right = insert_bst(root->right, elem);
  10     else if(root->data.key > elem.key)
  11         root->left = insert_bst(root->left, elem);
  12 }

二叉排序树的查找

   1 struct node *search(struct node *root, int key) {
   2     if(root == NULL)
   3         return NULL;
   4     else if(root->data.key < key)
   5         return search(root->right, key);
   6     else
   7         return search(root->left, key); 
   8 }

二叉排序树的删除结点

3.2. 二叉排序树的平衡

AVL平衡

LL旋转
RR旋转
LR旋转
RL旋转

红黑平衡

3.3. B树

4. 哈希表

4.1. 基本概念

设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。

散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。其中：

h：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
T为哈希表(Hash Table)。
h(Ki)(Ki∈U)是关键字为Ki结点存储地址(亦称哈希地址)。
将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为哈希(Hashing)

散列表的冲突现象

两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。

例：上图中的k2≠k5，但h(k2)=h(k5)，故k2和K5所在的结点的存储地址相同。

冲突不可能完全避免

通常情况下，h是一个压缩映像。虽然|K|≤m，但|U|>m，故无论怎样设计h，也不可能完全避免冲突。因此，只能在设计h时尽可能使冲突最少。同时还需要确定解决冲突的方法，使发生冲突的同义词能够存储到表中。

冲突的频繁程度除了与h相关外，还与表的填满程度相关。

设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。

4.2. 散列函数的构造方法

散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。

简单指散列函数的计算简单快速；
均匀指对于关键字集合中的任一关键字，散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，散列函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{0，1，…，m-1}上，以使冲突最小化。

假定关键字是定义在自然数集合上。

平方取中法

具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。

【例】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得
- (0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)
若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：
- (100，121，201，020，123)。

相应的散列函数用C实现很简单： int Hash(int key){ //假设key是4位整数

key*=key； key/=100； //先求平方值，后去掉末尾的两位数 return key％1000； //取中间三位数作为散列地址返回

}

除余法

该方法是最为简单常用的一种方法。它是以表长m来除关键字，取其余数作为散列地址，即 h(key)=key％m。该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数。

【例】若选m是关键字的基数的幂次，则就等于是选择关键字的最后若干位数字作为地址，而与高位无关。于是高位不同而低位相同的关键字均互为同义词。【例】若关键字是十进制整数，其基为10，则当m=100时，159，259，359，…，等均互为同义词。

折叠法

相乘取整法

该方法包括两个步骤：首先用关键字key乘上某个常数A(0<A<1)，并抽取出key.A的小数部分；然后用m乘以该小数后取整。即：

该方法最大的优点是选取m不再像除余法那样关键。比如，完全可选择它是2的整数次幂。虽然该方法对任何A的值都适用，但对某些值效果会更好。Knuth建议选取

   1 int Hash(int key){
   2   double d=key *A； //不妨设A和m已有定义
   3   return (int)(m*(d-(int)d))；//(int)表示强制转换后面的表达式为整数
   4 }

随机数法

选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址，即

h(key)=random(key)

其中random为伪随机函数，但要保证函数值是在0到m-1之间。

4.3. 处理冲突的方法

通常有两类方法处理冲突：开放定址(Open Addressing)法和拉链(Chaining)法。前者是将所有结点均存放在散列表T[0..m-1]中；后者通常是将互为同义词的结点链成一个单链表，而将此链表的头指针放在散列表T[0..m-1]中。

开放定址法

用开放定址法解决冲突的做法是：当冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空)为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表中无待查的关键字，即查找失败。

注意：

用开放定址法建立散列表时，建表前须将表中所有单元(更严格地说，是指单元中存储的关键字)置空。
空单元的表示与具体的应用相关。

开放定址法的一般形式为： hi=(h(key)+di)％m 1≤i≤m-1 其中：

h(key)为散列函数，di为增量序列，m为表长。
h(key)是初始的探查位置，后续的探查位置依次是hl，h2，…，hm-1，即h(key)，hl，h2，…，hm-1形成了一个探查序列。
若令开放地址一般形式的i从0开始，并令d0=0，则h0=h(key)，则有：hi=(h(key)+di)％m 0≤i≤m-1 探查序列可简记为hi(0≤i≤m-1)。

开放定址法要求散列表的装填因子α≤l，实用中取α为0.5到0.9之间的某个值为宜。

按照形成探查序列的方法不同，可将开放定址法区分为线性探查法、二次探查法、双重散列法等。

线性探查法(Linear Probing)

该方法的基本思想是：将散列表T[0..m-1]看成是一个循环向量，若初始探查的地址为d(即h(key)=d)，则最长的探查序列为：

d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1

即:探查时从地址d开始，首先探查T[d]，然后依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此后又循环到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]为止。

探查过程终止于三种情况：

若当前探查的单元为空，则表示查找失败（若是插入则将key写入其中）；
若当前探查的单元中含有key，则查找成功，但对于插入意味着失败；
若探查到T[d-1]时仍未发现空单元也未找到key，则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。

利用开放地址法的一般形式，线性探查法的探查序列为：

hi=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即di=i

二次探查法(Quadratic Probing)二次探查法的探查序列是：

hi=(h(key)+i*i)％m 0≤i≤m-1 //即di=i2

即探查序列为d=h(key)，d+12，d+22，…，等。该方法的缺陷是不易探查到整个散列空间。

双重散列法(Double Hashing)：该方法是开放定址法中最好的方法之一，它的探查序列是：

hi=(h(key)+i*h1(key))％m 0≤i≤m-1 //即di=i*h1(key)

即探查序列为：
- d=h(key)，(d+h1(key))％m，(d+2h1(key))％m，…，等。

该方法使用了两个散列函数h(key)和h1(key)，故也称为双散列函数探查法。

拉链法

拉链法解决冲突的做法是：将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。若选定的散列表长度为m，则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组 T[0..m-1]。凡是散列地址为i的结点，均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中，装填因子α可以大于 1，但一般均取α≤1。

与开放定址法相比，拉链法有如下几个优点：

拉链法处理冲突简单，且无堆积现象，即非同义词决不会发生冲突，因此平均查找长度较短；
由于拉链法中各链表上的结点空间是动态申请的，故它更适合于造表前无法确定表长的情况；
开放定址法为减少冲突，要求装填因子α较小，故当结点规模较大时会浪费很多空间。而拉链法中可取α≥1，且结点较大时，拉链法中增加的指针域可忽略不计，因此节省空间；
在用拉链法构造的散列表中，删除结点的操作易于实现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。而对开放地址法构造的散列表，删除结点不能简单地将被删结点的空间置为空，否则将截断在它之后填人散列表的同义词结点的查找路径。这是因为各种开放地址法中，空地址单元(即开放地址)都是查找失败的条件。因此在用开放地址法处理冲突的散列表上执行删除操作，只能在被删结点上做删除标记，而不能真正删除结点。

拉链法的缺点是：指针需要额外的空间，故当结点规模较小时，开放定址法较为节省空间，而若将节省的指针空间用来扩大散列表的规模，可使装填因子变小，这又减少了开放定址法中的冲突，从而提高平均查找速度。